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这样求极限——洛就完事了!

再求极限的过程中,有一种很方便的方法叫洛必达法则。可能有的同学高中就接触过这种方法。但是洛必达法则并不是洛必达发现的,我们先来讲讲洛必达法则的来源。


1661年洛必达出生于法国的贵族家庭。1704年2月2日卒于巴黎。他曾受袭侯爵衔,并在军队中担任骑兵军官,后来因为视力不佳而退出军队,转向学术方面加以研究。但是可惜的是洛必达的数学才能,远远不及他对数学的热情,无论他如何努力,始终无法在数学上有重大发现。因为洛必达是贵族,腰缠万贯,于是,他花重金聘请约翰·伯努利给他做老师,这让他接触到了莱布尼兹,也让他看到了自己和"天才"之间的差距,这严重打击到了他的自信心。

但是洛必达实在不甘心,于是他向他的老师约翰·伯努利写信提出,除了愿意出钱请他当老师,还要他把研究成果和最新发现定期给洛必达,但是这些成果不能告诉其他人。正值用钱之际的伯努利答应了他的要求。这些研究成果中,便包含着现在的“洛必达法则”。伯努利是收了人家钱的,哪还好意思再去认领这些成果,只能眼睁睁看着这些成果归在洛必达名下。这便是花钱买法则的故事。故事讲完,那让我回归正题,什么是洛必达法则:

众所周知,两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在,也可能不存在。洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法,他适用在0/0,∞/∞,0∞,等不定式求极限的形式。我们先来看一道题:

当x趋于0时,分子分母都趋于0,所以我们上下求导。

∞/∞型的和0/0的类似,0
∞的则是将0或者∞变到分母的位置,则又变成0/0或者∞/∞。洛必达法则的几点注意:
①一定要注意形式,整理之后必须是0/0,∞/∞的形式,分子分母分别求导,不是整体求导。②如果一次求导之后仍然不能求极限,但是仍满足条件①,则可以进行继续求导,直到求出极限为止。

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