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高等数学基础02:极限

数列

按照一定次数排列的一列数: u 1 , u 2 , . . . , u n , . . . u_1,u_2,...,u_n,... u1​,u2​,...,un​,... ,其中 u n u_n un​叫做通项。

对于数列 { u n } , \{ u_n \} , {un​}, 如果当n无限增大时,其通项无限接近于一个常数A, 则称该数列以A为极限或称数列收敛于A,否则称数列为发散。

极限

符号表示:
x → ∞ 表 示 “ 当 ∣ x ∣ 无 限 增 大 时 ” ; x \to \infty 表示 “当|x|无限增大时”; x→∞表示“当∣x∣无限增大时”;
x → + ∞ 表 示 “ 当 x 无 限 增 大 时 ” ; x \to +\infty 表示 “当x无限增大时”; x→+∞表示“当x无限增大时”;
x → − ∞ 表 示 “ 当 ∣ x ∣ 无 限 减 少 时 ” ; x \to -\infty 表示 “当|x|无限减少时”; x→−∞表示“当∣x∣无限减少时”;
x → x 0 表 示 “ 当 x 从 x 0 的 左 右 两 侧 无 限 接 近 于 x 0 时 ” ; x \to x_0 表示 “当x从x_0的左右两侧无限接近于x_0时”; x→x0​表示“当x从x0​的左右两侧无限接近于x0​时”;
x → x 0 + 表 示 “ 当 x 从 x 0 的 右 侧 无 限 接 近 于 x 0 时 ” ; x \to x_0^+ 表示 “当x从x_0的右侧无限接近于x_0时”; x→x0+​表示“当x从x0​的右侧无限接近于x0​时”;
x → x 0 − 表 示 “ 当 x 从 x 0 的 左 侧 无 限 接 近 于 x 0 时 ” ; x \to x_0^- 表示 “当x从x_0的左侧无限接近于x_0时”; x→x0−​表示“当x从x0​的左侧无限接近于x0​时”;

函数在x0的邻域内有定义,


左右极限:函数在左半邻域/右半邻域内有定义

的充要条件是


当 x → 0 时 f ( x ) 的 极 限 当x \to 0时 f(x)的极限 当x→0时f(x)的极限
解 : 解: 解:

左 右 极 限 存 在 但 不 相 等 , 左右极限存在但不相等, 左右极限存在但不相等,
$ \therefore $ $ \lim_{x \to 0}f(x)不存在$

无穷小:以零为极限
基本性质:
1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小
2.有限个无穷小的积仍是无穷小
3.有界变量与无穷小的积仍是无穷小
4.无限个无穷小之和不一定是无穷小。

无穷小的商不一定是无穷小。

极限有无穷小的关系:
$ \lim_{x \to x_0} f(x)=A的充要条件f(x)=A+\alpha(x),其中\alpha(x)是x \to x_0时的无穷小。$
无穷大:并不是一个很大的数,是相对于变换过程来说。

无穷小和无穷大的关系:在自变量的变换的同一过程中,如果 f ( x ) f(x) f(x)为无穷大,那么 1 f ( x ) \frac{1}{f(x)} f(x)1​为无穷小。
无穷小的比较:
α = α ( x ) , β = β ( x ) 都 是 无 穷 小 \alpha=\alpha(x), \beta=\beta(x)都是无穷小 α=α(x),β=β(x)都是无穷小

如果
则称β是比α高阶无穷小

则称β是比α低阶无穷小

则称β与α是同阶无穷小

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