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【公式小记】自相关、卷积、能量信号、功率信号

整理思路主要参考了B站UP主AI破壁者二元论的视频,同时加了一些自己的理解。

1 自相关、卷积与功率谱

自相关(Auto-correlation)又叫序列相关,是一个信号与其自身在不同时间点的互相关。有一组连续时间信号: x ( t ) x(t) x(t),其自相关函数为:
R ( τ ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) x ( t + τ ) d t R(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)x(t+\tau)dt R(τ)=∫−∞+∞​x(t)x(t+τ)dt
将信号 x ( t ) x(t) x(t)的自相关写成卷积(Convolution)公式:
[ x ( t ) ∗ x ( t ) ] ( τ ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) x ( τ − t ) d t [x(t)*x(t)](\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x(\tau-t)dt [x(t)∗x(t)](τ)=∫−∞+∞​x(t)x(τ−t)dt
卷积比自相关多一个“卷”(flip)操作。将信号先做翻转,再做卷积,卷过去再卷回来正好抵消,与自相关等价:
R ( τ ) = [ x ( t ) ∗ x ( − t ) ] ( τ ) R(\tau)=[x(t)*x(-t)](\tau) R(τ)=[x(t)∗x(−t)](τ)
将信号进行傅里叶变换,根据卷积定理,函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积,即时间域的卷积等价于频率域的乘积,反之亦然。对 x ( t ) x(t) x(t)和 x ( − t ) x(-t) x(−t)分别进行傅里叶变换,频谱函数的实部是偶函数:
R ( τ ) = F ( ω ) = f x ( ω ) f x ( − ω ) = f x ( ω ) f ( ω ) = f x 2 ( ω ) R(\tau)=F(\omega)=f_x(\omega)f_x(-\omega)=f_x(\omega)f_(\omega)=f_x^2(\omega) R(τ)=F(ω)=fx​(ω)fx​(−ω)=fx​(ω)f(​ω)=fx2​(ω)
以上得到功率谱密度(power spectral density, PSD),信号的功率谱就是这段信号自相关函数的傅里叶变换

2 信号的能量与功率

帕塞瓦尔定理(Parseval’s theorem)证明了信号在时间域的累积能量和在频率域的累积能量是相等的,即无论在时域还是频域,能量总是守恒的。
∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( f ) ∣ 2 d f \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|x(f)|^2df ∫−∞∞​∣x(t)∣2dt=∫−∞∞​∣x(f)∣2df
其中 x ( f ) = F [ x ( t ) ] x(f)=F[x(t)] x(f)=F[x(t)],即 x ( t ) x(t) x(t)的连续傅里叶变换, f f f为连续信号 x x x的频率分量。

对上面的PSD中的频率 ω \omega ω做积分,就得出信号的能量(Energy)。能量就是信号的平方在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上的积分。
E = ∫ − ∞ ∞ f x 2 ( ω ) d ω E=\int_{-\infty}^{\infty}f_x^2(\omega)d\omega E=∫−∞∞​fx2​(ω)dω
因为帕塞瓦尔定理,这个式子和信号能量的一般表达式是等价的:
E = lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T x 2 ( t ) d t E=\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^{T}x^2(t)dt E=T→∞lim​∫−TT​x2(t)dt
能量除以时间 2 T 2T 2T就得到了信号的功率(Power):
P = 1 2 T lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T x 2 ( t ) d t P=\frac{1}{2T}\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^{T}x^2(t)dt P=2T1​T→∞lim​∫−TT​x2(t)dt
能量有限、功率为零的信号为能量信号,比如脉冲信号;能量无限、功率有限的信号为功率信号,周期信号都是功率信号。(下图黑色为波形,蓝色为脉冲)

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