常用数学公式（一）

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常用数学公式（一）

1. 自然常数 e e $e$=limx→∞=(1+1x)x=e" role="presentation">=limx→∞=(1+1x)x=e=limx→∞=(1+1x)x=e$=\lim_{x\rightarrow \infty} = (1 + \frac{1}{x})^x = e$；
2. • 导数就是曲线的斜率，反映曲线改变的快慢；
   • 二阶导数反映斜率改变的快慢，表征曲线的凹凸性；
   • 常用函数的导数：
     
     1. C′=0 C ′ = 0 $C'=0$
     2. (xn)′=nxn−1 ( x n ) ′ = n x n − 1 $(x^n)'=nx^{n-1}$
     3. (sinx)′=cosx ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x $(\sin x)'=\cos x$
     4. (cosx)′=−sinx ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x $(\cos x)'=-\sin x$
     5. (ax)′=axlna ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a $(a^x)'=a^x\ln a$
     6. (ex)′=ex ( e x ) ′ = e x $(e^x)'=e^x$
     7. (logax)′=1xlogae ( l o g a x ) ′ = 1 x log a ⁡ e $(log_ax)'=\frac{1}{x}\log_ae$
     8. (lnx)′=1x ( ln x ) ′ = 1 x $(\ln_x)'=\frac{1}{x}$
     9. (u+v)′=u′+v′ ( u + v ) ′ = u ′ + v ′ $(u+v)'=u'+v'$
     10. (uv)′=u′v+uv′ ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ $(uv)'=u'v+uv'$
   • 积分的应用：
     
     1. 求解幂指函数 f(x)=xx（x>0） f ( x ) = x x （ x > 0 ） $f(x)=x^x（x>0）$的最小值：
     2. 求解 lnN! ln ⁡ N ! $\ln N!$：
        lnN!=∑Ni=1lni≈∫N1lnxdx ln ⁡ N ! = ∑ i = 1 N ln ⁡ i ≈ ∫ 1 N ln ⁡ x d x $\ln N!=\sum_{i=1}^N \ln i \approx \int_{1}^{N}\ln xdx$
        =xlnx|N1−∫N1xdlnx（由分部积分得） = x ln ⁡ x | 1 N − ∫ 1 N x d ln ⁡ x （ 由 分 部 积 分 得 ） $=x\ln x|_{1}^{N} - \int_{1}^{N} xd\ln x（由分部积分得）$
        =NlnN−∫N11dx（由dlnx=(lnx)′=1xdx得） = N ln ⁡ N − ∫ 1 N 1 d x （ 由 d ln ⁡ x = ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x d x 得 ） $=N\ln N - \int_{1}^{N}1dx（由d\ln x=(\ln x)'=\frac{1}{x}dx得）$
        =NlnN−N+1 = N ln ⁡ N − N + 1 $=N\ln N - N + 1$
        →N(lnN−1) → N ( l n N − 1 ) $\rightarrow N(lnN - 1)$
     3. 分部积分公式：由 (uv)′=uv′+u′v ( u v ) ′ = u v ′ + u ′ v $(uv)'=uv'+u'v$，得 uv′=(uv)′−u′v u v ′ = ( u v ) ′ − u ′ v $uv' = (uv)' - u'v$ 或 u′v=(uv)′−uv′ u ′ v = ( u v ) ′ − u v ′ $u'v = (uv)' - uv'$。两边同时积分，得 ∫udv=uv−∫vdu ∫ u d v = u v − ∫ v d u $\int udv = uv - \int vdu$或 ∫vdu=uv−∫udv ∫ v d u = u v − ∫ u d v $\int vdu = uv - \int udv$
        综上，分部积分公式： ∫baudvdxdx=[uv]ba−∫bavdudxdx ∫ a b u d v d x d x = [ u v ] a b − ∫ a b v d u d x d x $\int_a^bu\frac{dv}{dx}dx=[uv]_a^b - \int_a^bv\frac{du}{dx}dx$
   • 泰勒公式(Taylor公式)和麦克劳林公式：
     
     1. 泰勒公式： f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)(x−x0)22!+⋅⋅⋅+f(n)(x0)(x−x0)nn!+Rn(x) f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ″ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n n ! + R n ( x ) $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!}+\cdot\cdot\cdot+f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0)^n}{n!}+R_n(x)$$
     2. 麦克劳林公式： f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)x″2!+⋅⋅⋅+f(n)(0)x(n)n!+O(xn) f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ″ ( 0 ) x ″ 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + f ( n ) ( 0 ) x ( n ) n ! + O ( x n ) $$f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)\frac{x''}{2!}+\cdot\cdot\cdot+f^{(n)}(0)\frac{x^{(n)}}{n!}+O(x^n)$$
     3. 泰勒公式的应用：
        
        1. sinx=x−x33!+x55!−x77!+x99!+⋅⋅⋅+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+R2m sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + x 9 9 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) m − 1 x 2 m − 1 ( 2 m − 1 ) ! + R 2 m $\sin x =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} + \cdot\cdot\cdot +(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!} + R_{2m}$
        2. ex=1+x+x22!+x33!+⋅⋅⋅+xnn!+Rn e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + x n n ! + R n $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdot\cdot\cdot + \frac{x^n}{n!} + R_n$
   • 方向导数：如果函数 z=f(x,y) z = f ( x , y ) $z=f(x,y)$在点P(x,y)是可微分的，那么，函数在该点沿任一方向 L L $L$的方向导数都存在，且有：∂f∂l=∂f∂xcos⁡φ+∂f∂ysin⁡φ" role="presentation">∂f∂l=∂f∂xcosφ+∂f∂ysinφ∂f∂l=∂f∂xcos⁡φ+∂f∂ysin⁡φ $$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos \varphi + \frac{\partial f}{\partial y}\sin \varphi$$
     其中， φ φ $\varphi$为 x x $x$轴到方向L" role="presentation">LL$L$的转角
   • 梯度：设函数 z=f(x,y) z = f ( x , y ) $z=f(x,y)$在平面区域D内有一阶连续偏导数，则对于每一个点 P(x,y)∈D P ( x , y ) ∈ D $P(x,y)\in D$，向量 (∂f∂x,∂f∂y) ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) $$(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$$ 为函数 z=f(x,y) z = f ( x , y ) $z=f(x,y)$在点 P P $P$的梯度，记作gradf(x,y)" role="presentation">gradf(x,y)gradf(x,y)$grad f(x,y)$
     梯度的方向是函数在该点变化最快的方向（考虑一座解析式为 z=H(x,y) z = H ( x , y ) $z=H(x,y)$的山，在 (x0,y0) ( x 0 , y 0 ) $(x_0,y_0)$的梯度是在该点坡度变化最快的方向）
     方向导数和梯度详细介绍

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