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泔水()

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数据科学与计算机学院

目录

  • 数学干货之不等式
    • 均值不等式
    • 幂平均不等式
    • 柯西不等式
    • 琴生不等式
  • 证明不等式的小策略
    • 函数法
    • “暴力”
    • 积分法
    • 数学归纳法
  • 水货-大学感想

一、各类不等式

1.均值不等式

平方平均数 ≥ 算术平均数 ≥ 几何平均数 ≥ 调和平均数
就是这样子:
∑a2nn−−−−√≥∑ann≥∏an−−−−√n≥n∑1an

2.幂平均不等式

设 a1,a2⋯an>0
有 ∑annn−−−−√n≥⋯≥∑a3nn−−−−√3≥∑a2nn−−−−√≥∑ann

3.柯西不等式

对于实数 a1,a2,⋯an以及b1,b2,⋯bn ,有 (∑a2n)(∑b2n)≥(∑anbn)2
等号当且仅当 a1b1=a2b2=⋯=anbn 时成立。
柯西不等式常用来去分母,去根号,去平方等。

4.琴生不等式

对于凸函数f(x),我们有 ∑f(xn)n≥f(∑xnn)
对于凹函数,不等式反向。等号当且仅当 x1=x2=⋯=xn 时取得。
其中满足二阶导数 f′′(x)≥0 的函数称为凸函数,反之称为凹函数。

二、证明不等式的小策略

1.函数法

例:在三角形ABC中,证明sinA+sinB+sinC ≤33√2
证明:设f(x)=sinx
在[0, 180。 ]内, f′′(x)=−sinx≤0
由琴生不等式, f(A)+f(B)+f(C)3≤f(A+B+C3)=f(60。)
即sinA+sinB+sinC ≤33√3
联系琴生不等式,构造函数即可。

2.”暴力“

已知a,b,c>0,证明: ∑a2(a+b)(a+c)≥34
证明:即证 4∑a2(b+c) ≥∏(a+b) 1
即证 4∑a2b≥3∑(a2b+2abc)
即证 ∑a2b≥6abc
由均值不等式即知成立。
熟练运用累加和累积符号,记忆一些常见展开式。

3.积分法

设原不等式是f(x)从a到b逐一累加。一般的,我们有,
若函数f(x)在[a-1,b-1]上单调递增,
则 ∫ba−1f(x)dx <原不等式< ∫b+1af(x)dx
若函数f(x)在[a-1,b-1]上单调递减,
则 ∫b+1af(x)dx <原不等式< ∫ba−1f(x)dx
根据积分求法而来,使用时画画图即可。

4.数学归纳法

关于自然数n的不等式,以及n个字母的不等式,可以考虑数学归纳法。

三、大学感想

哎呀我去,终于敲完了那一堆代码似的东西,现在来水一水。我把博客的名字定义为Grom-Hellscream是为了纪念我的高三。肯定有很多人认识他。回想高三,每天的状态是这样的:

很丑但是很疯狂,每天极其充实,每个人都在朝着自己的梦想奋斗,那种充实感迄今难忘。经历了一次坑爹高考之后我傻傻地进入了大学。然后发现一件可怕的事:浪永远有代价,它不会像高中一样通过一次考试来使你惊醒,而是,要你慢性偿还,待你惊醒时却早已为时已晚。所以,大学最难。它不会给你那种完美的环境简单的目标任你追求,它只会给你大把可以自由支配的时间并附带无数浪费掉它们的方式。好在——世界其实不大,只要一直向前。



  1. :累乘
    ∑a2(b+c)=a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)

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