关于二叉树你必须知道的知识

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关于二叉树你必须知道的知识

树

1.树的概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（N>=0）个有限节点组成的具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有任何前驱节点
• 除根节点外，其余节点被分成了M（M>0）个互不相交的集合T1、T2、T3、…Tm，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）又是一颗结构与树类似的子树。每颗子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 由此，树是递归定义的

树的概念

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就变成了图

子树之间不能有交集

1.2 树的相关概念

树的相关概念

加粗的名字为常见用法。 节点的度：一个节点含有的子树称为该节点的度；如上图：A的度为3. 叶节点或者终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：K，L，F，G…等节点为叶节点 非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：E，B，C，A…等节点为分支节点。 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A就是B的父节点。 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B就是A的子节点。 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B，C是兄弟节点。 树的度：一颗树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为3。 节点的层次：从根节点开始定义，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推。 树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图，树的高度为4. 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：E和G互为堂兄弟。 节点的祖先：从根到该节点所经历分支的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先。 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。 森林：由m（m>0）颗互不相交的树的集合称为树。

1.3 树的表示

树结构相对线性结构就比较复杂了，要存储表示就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存节点和节点之间的关系，实际中树有很多表示方式如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。 简单解释一下其中最常用的孩子兄弟表示法

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struct Node
{
	int data;//节点中的数据域
	struct Node* _firstChild;//第一个孩子节点
	struct Node* _pnextBrother;//指向其下一个兄弟节点
};

演示：

孩子兄弟表示法

1.4 树在实际中的运用

还记得我在Linux中讲的吗，Linux的目录就是一个树形目录结构

树形目录结构

2.二叉树概念及结构

2.1 概念

一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两颗树分别为左子树和右子树组成。

二叉树概念

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的节点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树 注意：对于任意二叉树都是有以下几种情况混合而成的。

二叉树的组成

2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到了最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且节点总数为2^k - 1,则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的，有n个节点的二叉树，当且仅当其每个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的节点一一对应时称为完全二叉树。要注意的是，满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

满二叉树与完全二叉树

满二叉树树的节点范围[2(k-1),2k - 1]

2.3 二叉树的性质

1. 如果规定根节点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点。
2. 如果规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最多节点数为2^h - 1。
3. 对于任何一颗二叉树，如果度为0其叶子节点个数为n0，度为2的分支节点个数为n2，则有n0 = n2+1
4. 如果规定根节点的层数为1，具有n个节点的满二叉树的深度为，h = log2(n+1)
5. 对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从下往上从左往右的数组树形对所有序号为i的节点有：

• 如果i>0，i位置节点的双亲序号：（i-2）/2；i = 0.i为根节点编号，无双亲节点
• 如果2*i+1<n,左孩子序号：2*i+1,2*i+1>=n则无右孩子。
• 如果2*i+2<n,右孩子序号：2*i+2，2*i+2>=n则无友孩子。

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种存储结构，一种是顺序结构，一种是链式结构。

1. 顺序结构 顺序结构存储就是使用数组存储，一般使用数组只适用表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会友空间浪费。而现实中使用只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

完全二叉树的顺序存储与非完全二叉树的顺序存储

1. 链式存储 二叉树的链式存储是指，用链表来表示一颗二叉树，即用链来表示元素的逻辑关系。通常的方式是链表中的每个节点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针域分别用来给节点左孩子和右孩子所在的链节点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们主要使用二叉链。红黑树的话会用到三叉链。

二叉链与三叉链

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//二叉链
struct Node
{
	int data;//当前节点的数据域
	struct Node* left;//指向当前节点的左孩子
	struct Node* right;//指向当前节点的右孩子
}

//三叉链
struct Node
{
	int data;//当前节点的数据域
	struct Node* parent;//指向当前节点的父节点
	struct Node* left;//指向当前节点的左孩子
	struct Node* right;//指向当前节点的右孩子
}

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