Wavedec2与waverec2：深入理解双层波形分解与重构的艺术

图像小波变换

一、一维小波变换

1. dwt函数

功能： 单级一维离散小波变换
句法：

• [cA,cD] = dwt(x,wname)
  使用小波’wname’对信号X进行单层分解，求得的近似系数存放在数组cA中，细节系数存放在数组cD中
• [cA,cD] = dwt(x,LoD,HiD)
  分别使用指定的低通和高通滤波器计算小波分解
• [cA,cD] = dwt(…,‘mode’,extmode)
  使用指定的扩展模式计算小波分解。MODE是包含扩展模式的字符串。

代码示例：

%装载一维原始信号 
load noissin;%带噪声的正弦信号   
s=noissin(1:1000);%取信号的前1000个采样点
%画出原始信号的波形 
subplot(411);plot(s);%函数subplot的作用是在标定位置上建立坐标系 
title('原始信号');%下面用haar小波函数进行一维离散小波变换 
[ca1,cd1]=dwt(s,'haar');subplot(4,2,3);plot(ca1); axis tight;%自动设置x轴和y轴的范围使图形区域正好占满整个显示空间
ylabel('haar(ca1)');subplot(4,2,4);plot(cd1); axis tight;ylabel('haar(cd1)');%给定一个小波db2,计算与之相关的分解滤波器 
[Lo_D,Hi_D]=wfilters('db2','d');%用分解滤波器Lo_D,Hi_D计算信号s的离散小波分解系数 
[ca2,cd2]=dwt(s,Lo_D,Hi_D);subplot(4,2,5);plot(ca2); axis tight;ylabel('db2(ca2)');subplot(4,2,6);plot(cd2); axis tight;ylabel('db2(cd2)');

结果显示：

load noissin;%装载信号 
s=noissin(1:1000); 
ls=length(s);%计算信号点的个数ls 
%对s进行一维连续小波变换，把返回系数存到矩阵w中 
w=cwt(s,[12.12,10.24,15.48,1.2,2:2:10],'db3','plot');xlabel('时间');ylabel('变换尺度');title('对应于尺度a=12.12,10.24,15.48,1.2,2,4,6,8,10小波变换系数的绝对值');

结果显示：

2.idwt函数

功能： 单级逆离散一维小波变换
句法：

• x = idwt(cA,cD,’wname‘)
  返回基于近似和细节系数向量CA和CD，并使用小波“wname”的单层重构近似系数向量X

代码示例：

load noisdopp;% 装载信号
[A,D]=dwt(noisdopp,'sym4');%使用Symlet(symN)小波
x =idwt(A,D,'sym4');max(abs(noisdopp-x))

运行结果：

• x = idwt(cA,cD,LoR,HiR)
  如上所述，使用指定的过滤器进行重建：
  LoR是重构低通滤波器。
  HiR是重建高通滤波器。
  LoR和HiR的长度必须相同。

代码示例：

load noisdopp;[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R]=wfilters('bior3.5');%返回与正交或双正交小波wname关联的四个低通和高通、分解和重建滤波器。
[A,D]=dwt(noisdopp,Lo_D,Hi_D);
x =idwt(A,D,Lo_R,Hi_R);max(abs(noisdopp-x))

运行结果：

• x = idwt(…,l)
  返回使用idwt（CA，CD，‘wname’）获得的结果的长度为L的中心部分。L必须小于X的长度。
• x = idwt(…,‘mode’,mode)
  使用指定的扩展模式计算小波重构。
• x = idwt(cA,[],…)
  返回基于近似系数向量CA的单层重构近似系数向量X。
• x = idwt([],cD,…)
  返回基于近似系数向量CD的单层重构近似系数向量X。

二、二维小波变换

1.wcodemat函数

功能： 扩展的伪彩色矩阵缩放折叠全部页面
句法：

• Y = wcodemat(X)
  将矩阵X重新缩放为[1,16]范围内的整数。

代码示例：

X =[100110130;112115116;4516445];disp(X);
Y =wcodemat(X);disp(Y);

运行结果：

• Y = wcodemat(X,NBCODES)
  将输入重新缩放X为[1，NBCODES]范围内的整数。

代码示例：

X =[100110255;112115116;4516445];disp(X);
Y =wcodemat(X,150);disp(Y);

运行结果：

• Y = wcodemat(X,NBCODES,OPT)
  沿OPT指定的维度重新缩放矩阵。OPT可以是：“column”（或“c”）、“row”（或“r”）和“mat”（或“m”）之一。“column”按行缩放X，“row”按列缩放X，“mat”按全局缩放X。OPT的默认值为“mat”。

代码示例：

X =imread('rabbit.jpg');subplot(221);X =rgb2gray(X);imshow(X);subplot(222);Y =wcodemat(X,150,'c');imshow(Y);subplot(223);Y =wcodemat(X,150,'r');imshow(Y);subplot(224);Y =wcodemat(X,150,'m');imshow(Y);

运行结果：

• Y = wcodemat(X,NBCODES,OPT,ABSOL)
  如果绝对值为非零则根据X中条目的绝对值重新调整输入矩阵X、或者当绝对值等于零时基于X的符号值来重新调整输入矩阵X。绝对值默认为1。

代码示例：

X =imread('girl.jpg');subplot(221);X =rgb2gray(X);imshow(X);subplot(222);Y =wcodemat(X,150,'r',0);imshow(Y);subplot(223);Y =wcodemat(X,150,'r',5);imshow(Y);subplot(224);Y =wcodemat(X,150,'r',-1);imshow(Y);

运行结果：

2.dwt2函数

• [CA,CH,CV,CD] = dwt2(X,‘wname’)
  计算通过输入矩阵X的小波分解获得的近似系数矩阵CA和细节系数矩阵CH，CV，CD。’“wname”是包含小波名称的字符串。
• [CA，CH，CV，CD] = dwt2(X,Lo_D,Hi_D)
  计算二维小波,使用指定的过滤器作为输入进行上述分解：
  Lo_D是分解低通滤波器。
  Hi_D是分解高通滤波器。
  Lo_D和Hi_D的长度必须相同。
• [CA，CH，CV，CD] = dwt2(…,‘mode’,MODE)

代码示例：

X =imread('rabbit.jpg');
X =rgb2gray(X);[LoD,HiD]=wfilters('haar','d');%小波滤波器
[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,LoD,HiD,'mode','symh');subplot(2,2,1);imagesc(cA);%使用缩放颜色显示图像
colormap gray;%将当前图窗的颜色图设置为预定义的颜色图之一
title('Approximation')%近似系数矩阵
subplot(2,2,2);imagesc(cH);colormap gray;title('Horizontal');%水平系数矩阵
subplot(2,2,3);imagesc(cV);colormap gray;title('Vertical');%垂直系数矩阵
subplot(2,2,4);imagesc(cD);colormap gray;title('Diagonal')%对角系数矩阵

运行结果：

3.idwt2函数

功能： 二维离散小波反变换
格式：

• X=idwt2(cA,cH,cV,cD,‘wname’)
  由信号小波分解的近似信号 cA 和细节信号cH、cH、cV、cD 经小波反变换重构原信号 X ；

代码示例：

[X,map]=imread('girl.jpg');
X =rgb2gray(X);[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,'haar');
Y=idwt2(cA,cH,cV,cD,'haar');%单尺度二维离散小波重构(逆变换)subplot(1,2,1),imshow(X,map),title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(Y,map),title('重构图像');

运行结果：

• X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R)
  使用指定的重构低通和高通滤波器 Lo_R 和 Hi_R 重构原信号 X ；

代码示例：

X =imread('rabbit.jpg');
X =rgb2gray(X);[Lo_D,Hi_D]=wfilters('db2','d');[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,Lo_D,Hi_D);%单尺度二维离散小波重构(逆变换)
A=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_D,Hi_D);subplot(1,2,1);imshow(X);title('原图');subplot(1,2,2),imshow(uint8(A)),title('重构图');

运行结果：

• X=idwt2(cA,cH,cV,cD,‘wname’,S) 和 X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S)
  返回中心附近的 S 个数据点

代码示例：

X =imread('rabbit.jpg');
X =rgb2gray(X);[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,'haar');%单尺度二维离散小波重构(逆变换)
A=idwt2(cA,[],[],[],'haar');
H=idwt2([],cH,[],[],'haar');
V=idwt2([],[],cV,[],'haar');
D=idwt2([],[],[],cD,'haar');imshow(X);
figure;subplot(2,2,1),imshow(uint8(A)),title('低频重构图');subplot(2,2,2),imshow(uint8(H)),title('水平高频重构图');subplot(2,2,3),imshow(uint8(V)),title('竖直高频重构图');subplot(2,2,4),imshow(uint8(D)),title('对角高频重构图');

运行结果：

4.wavedec2函数

功能： 二维小波分解
句法：

• [C,S] = wavedec2(X,N,wname)
  返回矩阵X在N级的小波分解，使用字符串“wname”中命名的小波。输出是分解向量C和相应的记账矩阵S。

代码示例：

I =imread('girl.jpg');[C,S]=wavedec2(I,2,'haar');disp(size(C));disp(size(S));

运行结果：

• [C,S] = wavedec2(X,N,LoD,HiD)

代码示例：

I =imread('girl.jpg');[LoD,HiD]=wfilters('haar','d');[C,S]=wavedec2(I,2,LoD,HiD);disp(size(C));disp(size(S));

运行结果：

5.waverec2函数

功能：
语法：

• x = waverec2(c,s,wname)
  基于多级小波分解结构[C，S]重构矩阵X。‘wname’ 为使用的小波基函数；

代码示例：

[X,map]=imread('girl.jpg');
X =rgb2gray(X);[c,s]=wavedec2(X,2,'haar');%进行2尺度二维离散小波分解。分解小波函数haar
%多尺度二维离散小波重构(逆变换)
Y=waverec2(c,s,'haar');
figure;subplot(1,2,1),imshow(X,map),title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(Y,map),title('重构图像');

结果显示：

• x = waverec2(c,s,LoR,HiR)
  使用重构低通和高通滤波器LoR和 HiR重构原信号。

代码示例：

[X,map]=imread('girl.jpg');
X =rgb2gray(X);[Lo_D,Hi_D]=wfilters('db2','d');[c,s]=wavedec2(X,2,'haar');%进行2尺度二维离散小波分解
Y=waverec2(c,s,Lo_D,Hi_D);
figure;subplot(1,2,1),imshow(X,map),title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(Y,map),title('重构图像');

结果显示：

三、相关单词

wavelet 小波
decomposition 分解
approximation 近似值
coefficient 系数
discrete 离散的
low-pass filter 低通滤波器
high-pass filter 高通滤波器
orthogonal 正交的