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课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见 。

课程笔记

此部分讨论了矩阵四个基本子空间的定义、性质以及求解方法。

1. 定义

关于column space和null space的定义请参考 ，简单的说column space是矩阵 A 所有列向量的线性组合，即span；而null space是所有满足 A x = 0 的 x 的集合。

由此推出row space和null space的定义也十分简单：row space就是 C ( A T ) ，而left null space则为 N ( A T ) 。row space的实际意义即为所有行向量的线性组合；而left null space则为所有满足 x T A = 0 T 的 x 的集合。

2. 性质

首先四个子空间都是大空间的subspace，第一个性质就是讨论各自所在的大空间，完全由集合内部元素的维度限制。设 A 是 n × m 的矩阵，则有 C ( A ) ∈ R n , N ( A ) ∈ R m , C ( A T ) ∈ R m , N ( A T ) ∈ R n 。可以发现column space 和left null space位于同一大空间内，而row space和null space 位于同一大空间内。通常对矩阵 A 的四大子空间作图时采用如下形式：

然后讨论四个空间的维度，由之前的内容可知 Dim ( C ( A ) ) = r ( A ) , Dim ( N ( A ) ) = m − r ( A ) 。对于row space，结论是类似的 Dim ( R ( A ) ) = Dim ( C ( A T

本文标签： 的集合系统编程

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